直方体において、$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AE} = \vec{c}$ とする。このとき、$\vec{BH}$, $\vec{DF}$, $\vec{EC}$, $\vec{FH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

直方体において、$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AE} = \vec{c}$ とする。このとき、$\vec{BH}$, $\vec{DF}$, $\vec{EC}$, $\vec{FH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

* $\vec{BH}$ を求める:

$\vec{BH} = \vec{AH} - \vec{AB}$ である。$\vec{AH} = \vec{AD} + \vec{DH} = \vec{b} + \vec{c}$ である。

したがって、

$\vec{BH} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{a}$

* $\vec{DF}$ を求める:

$\vec{DF} = \vec{BF} - \vec{BD}$ と表せる.

$\vec{BF} = \vec{AE} = \vec{c}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

したがって、

$\vec{DF} = \vec{c} + (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

もしくは、

$\vec{DF} = \vec{CF} - \vec{CD} = \vec{CD} + \vec{CG} - \vec{CD} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

* $\vec{EC}$ を求める:

$\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE}$ である。$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$ である。

したがって、

$\vec{EC} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

* $\vec{FH}$ を求める:

$\vec{FH} = \vec{EH} - \vec{EF}$ である。$\vec{EH} = \vec{AD} = \vec{b}$ であり、$\vec{EF} = \vec{AB} = \vec{a}$ である。

したがって、

$\vec{FH} = \vec{b} - \vec{a}$

3. 最終的な答え

$\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{EC} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{FH} = -\vec{a} + \vec{b}$