画像の問題は3問あります。 * 問題1：点A(1, -1)と点B(-5, 2)が与えられたとき、x軸上の点Pで、2AP = BPを満たす点Pの座標を求める。 * 問題2：3点(3, 0), (2, 7), (-4, -1)から等距離にある点の座標を求める。 * 問題3：2点(2, 5), (a, b)を結ぶ線分を1:3の比に内分する点が(1, 4)であるとき、aとbの値を求める。

1. 問題の内容

画像の問題は3問あります。

* 問題1：点A(1, -1)と点B(-5, 2)が与えられたとき、x軸上の点Pで、2AP = BPを満たす点Pの座標を求める。

* 問題2：3点(3, 0), (2, 7), (-4, -1)から等距離にある点の座標を求める。

* 問題3：2点(2, 5), (a, b)を結ぶ線分を1:3の比に内分する点が(1, 4)であるとき、aとbの値を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1：

点Pはx軸上にあるので、P(x, 0)と表せる。

APとBPの距離をそれぞれ計算する。

$AP = \sqrt{(x-1)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 1}$

$BP = \sqrt{(x-(-5))^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(x+5)^2 + 4}$

2AP = BPなので、$2\sqrt{(x-1)^2 + 1} = \sqrt{(x+5)^2 + 4}$。

両辺を2乗して、$4((x-1)^2 + 1) = (x+5)^2 + 4$

$4(x^2 - 2x + 1 + 1) = x^2 + 10x + 25 + 4$

$4x^2 - 8x + 8 = x^2 + 10x + 29$

$3x^2 - 18x - 21 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

$(x-7)(x+1) = 0$

$x = 7, -1$

したがって、P(7, 0), (-1, 0)

* 問題2：

求める点を(x, y)とする。

点(x, y)と(3, 0)の距離、点(x, y)と(2, 7)の距離、点(x, y)と(-4, -1)の距離が等しい。

$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + (y-7)^2} = \sqrt{(x+4)^2 + (y+1)^2}$

$(x-3)^2 + y^2 = (x-2)^2 + (y-7)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 14y + 49$

$-6x + 9 = -4x - 14y + 53$

$-2x + 14y = 44$

$-x + 7y = 22$ (1)

$(x-2)^2 + (y-7)^2 = (x+4)^2 + (y+1)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1$

$-4x - 14y + 53 = 8x + 2y + 17$

$-12x - 16y = -36$

$3x + 4y = 9$ (2)

(1)より、$x = 7y - 22$

これを(2)に代入すると、

$3(7y - 22) + 4y = 9$

$21y - 66 + 4y = 9$

$25y = 75$

$y = 3$

$x = 7(3) - 22 = 21 - 22 = -1$

したがって、(-1, 3)

* 問題3：

2点(2, 5), (a, b)を結ぶ線分を1:3に内分する点が(1, 4)であるので、内分点の公式を用いる。

内分点の座標は、

$(\frac{3 \times 2 + 1 \times a}{1+3}, \frac{3 \times 5 + 1 \times b}{1+3}) = (1, 4)$

$\frac{6+a}{4} = 1$

$6 + a = 4$

$a = -2$

$\frac{15+b}{4} = 4$

$15 + b = 16$

$b = 1$

したがって、a = -2, b = 1

3. 最終的な答え

* 問題1：P(7, 0), (-1, 0)

* 問題2：(-1, 3)

* 問題3：a = -2, b = 1