点A(1, -1), B(-5, 2)が与えられている。$2AP = BP$を満たすx軸上の点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(1, -1), B(-5, 2)が与えられている。$2AP = BP$を満たすx軸上の点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Pはx軸上にあるので、Pの座標を$(x, 0)$と置く。

次に、APとBPの距離をそれぞれ$x$を用いて表す。

APの距離は

$AP = \sqrt{(x-1)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 1}$

BPの距離は

$BP = \sqrt{(x-(-5))^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(x+5)^2 + 4}$

与えられた条件$2AP = BP$より、$2\sqrt{(x-1)^2 + 1} = \sqrt{(x+5)^2 + 4}$である。

両辺を2乗して、

$4((x-1)^2 + 1) = (x+5)^2 + 4$

$4(x^2 - 2x + 1 + 1) = x^2 + 10x + 25 + 4$

$4x^2 - 8x + 8 = x^2 + 10x + 29$

$3x^2 - 18x - 21 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

$(x-7)(x+1) = 0$

よって、$x = 7, -1$

したがって、点Pの座標は$(7, 0)$または$(-1, 0)$である。

3. 最終的な答え

(7, 0), (-1, 0)