与えられた2つの方程式がどのような図形を表すかを答える問題です。 (1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ (2) $y^2 + 8y - 16x = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式がどのような図形を表すかを答える問題です。

(1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$

(2) $y^2 + 8y - 16x = 0$

2. 解き方の手順

(1) の方程式を平方完成します。

$x^2 + 6x + 4y^2 - 8y + 9 = 0$

$(x^2 + 6x) + 4(y^2 - 2y) + 9 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + 4(y^2 - 2y + 1) - 4 + 9 = 0$

$(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 - 4 = 0$

$(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 4$

$\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1$

この式は楕円を表します。中心は $(-3, 1)$ で、x軸方向の半径は2、y軸方向の半径は1です。

(2) の方程式を平方完成します。

$y^2 + 8y - 16x = 0$

$(y^2 + 8y) = 16x$

$(y^2 + 8y + 16) - 16 = 16x$

$(y + 4)^2 = 16x + 16$

$(y + 4)^2 = 16(x + 1)$

この式は放物線を表します。頂点は $(-1, -4)$ で、焦点は $(3, -4)$です。

3. 最終的な答え

(1) 楕円：$\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1$

(2) 放物線：$(y + 4)^2 = 16(x + 1)$