問題は二つの数列の和を求めることです。 (2) は $\sum_{k=1}^{n} 5^k$ を計算します。 (3) は $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題は二つの数列の和を求めることです。

(2) は $\sum_{k=1}^{n} 5^k$ を計算します。

(3) は $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(2) は等比数列の和の公式を使います。初項は $5^1 = 5$、公比は $5$、項数は $n$ です。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ です。

したがって、

$S_n = \frac{5(5^n - 1)}{5-1} = \frac{5(5^n - 1)}{4}$ となります。

(3) も等比数列の和の公式を使います。初項は $\frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$、公比は $\frac{1}{3}$、項数は $n-1$ です。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r}$ です。

したがって、

$S_{n-1} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n}$となります。

3. 最終的な答え

(2) $\sum_{k=1}^{n} 5^k = \frac{5(5^n - 1)}{4}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n}$