SENSEI AI
About App

## 1. 問題の内容

代数学行列逆行列行列式線形代数
2025/7/2
##

1. 問題の内容

与えられた6つの正方行列Aが正則であるかを判定し、正則であれば逆行列 A−1A^{-1} を求める。
##

2. 解き方の手順

正方行列 AA が正則であるかどうかは、行列式 det⁡(A)\det(A) を計算し、det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0 であれば正則である。 正則な行列の逆行列は、以下の手順で求める。

1. 行列式 $\det(A)$ を計算する。

2. 余因子行列 $C$ を計算する。余因子 $c_{ij}$ は、$A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものである。

3. $C$ の転置行列 $C^T$ (随伴行列とも呼ばれる) を計算する。

4. 逆行列 $A^{-1}$ を $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T$ で計算する。

以下に各行列の計算を示す。
**(1)** A=[5−7−23]A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=(5)(3)−(−7)(−2)=15−14=1\det(A) = (5)(3) - (-7)(-2) = 15 - 14 = 1
* C=[3275]C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}
* CT=[3725]C^T = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}
* A−1=11[3725]=[3725]A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}
**(2)** A=[4386]A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=(4)(6)−(3)(8)=24−24=0\det(A) = (4)(6) - (3)(8) = 24 - 24 = 0
行列式が0なので正則ではない。
**(3)** A=[3277−155311]A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 7 & -1 & 5 \\ 5 & 3 & 11 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=3((−1)(11)−(5)(3))−2((7)(11)−(5)(5))+7((7)(3)−(−1)(5))=3(−11−15)−2(77−25)+7(21+5)=3(−26)−2(52)+7(26)=−78−104+182=0\det(A) = 3((-1)(11)-(5)(3)) - 2((7)(11)-(5)(5)) + 7((7)(3)-(-1)(5)) = 3(-11-15) - 2(77-25) + 7(21+5) = 3(-26) - 2(52) + 7(26) = -78 - 104 + 182 = 0
行列式が0なので正則ではない。
**(4)** A=[121022−1−22]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=1((2)(2)−(2)(−2))−2((0)(2)−(2)(−1))+1((0)(−2)−(2)(−1))=1(4+4)−2(0+2)+1(0+2)=8−4+2=6\det(A) = 1((2)(2) - (2)(-2)) - 2((0)(2) - (2)(-1)) + 1((0)(-2) - (2)(-1)) = 1(4+4) - 2(0+2) + 1(0+2) = 8 - 4 + 2 = 6
* C=[8−22−63−02−22]C = \begin{bmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -6 & 3 & -0 \\ 2 & -2 & 2 \end{bmatrix}
* CT=[8−62−23−2202]C^T = \begin{bmatrix} 8 & -6 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}
* A−1=16[8−62−23−2202]=[4/3−11/3−1/31/2−1/31/301/3]A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 8 & -6 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & 1/2 & -1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}
**(5)** A=[23−115110−2]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=2((5)(−2)−(1)(0))−3((1)(−2)−(1)(1))+(−1)((1)(0)−(5)(1))=2(−10)−3(−3)+(−1)(−5)=−20+9+5=−6\det(A) = 2((5)(-2) - (1)(0)) - 3((1)(-2) - (1)(1)) + (-1)((1)(0) - (5)(1)) = 2(-10) - 3(-3) + (-1)(-5) = -20 + 9 + 5 = -6
* C=[−103−56−338−37]C = \begin{bmatrix} -10 & 3 & -5 \\ 6 & -3 & 3 \\ 8 & -3 & 7 \end{bmatrix}
* CT=[−10683−3−3−537]C^T = \begin{bmatrix} -10 & 6 & 8 \\ 3 & -3 & -3 \\ -5 & 3 & 7 \end{bmatrix}
* A−1=1−6[−10683−3−3−537]=[5/3−1−4/3−1/21/21/25/6−1/2−7/6]A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} -10 & 6 & 8 \\ 3 & -3 & -3 \\ -5 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/3 & -1 & -4/3 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 5/6 & -1/2 & -7/6 \end{bmatrix}
**(6)** A=[4121−3−33−2−2]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 3 & -2 & -2 \end{bmatrix}
* det⁡(A)=4((−3)(−2)−(−3)(−2))−1((1)(−2)−(−3)(3))+2((1)(−2)−(−3)(3))=4(6−6)−1(−2+9)+2(−2+9)=4(0)−1(7)+2(7)=0−7+14=7\det(A) = 4((-3)(-2) - (-3)(-2)) - 1((1)(-2) - (-3)(3)) + 2((1)(-2) - (-3)(3)) = 4(6-6) - 1(-2+9) + 2(-2+9) = 4(0) - 1(7) + 2(7) = 0 - 7 + 14 = 7
* C=[0−77−2−1411314−13]C = \begin{bmatrix} 0 & -7 & 7 \\ -2 & -14 & 11 \\ 3 & 14 & -13 \end{bmatrix}
* CT=[0−23−7−1414711−13]C^T = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ -7 & -14 & 14 \\ 7 & 11 & -13 \end{bmatrix}
* A−1=17[0−23−7−1414711−13]=[0−2/73/7−1−22111/7−13/7]A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ -7 & -14 & 14 \\ 7 & 11 & -13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2/7 & 3/7 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 11/7 & -13/7 \end{bmatrix}
##

3. 最終的な答え

(1) 正則であり、A−1=[3725]A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}
(2) 正則ではない。
(3) 正則ではない。
(4) 正則であり、A−1=[4/3−11/3−1/31/2−1/31/301/3]A^{-1} = \begin{bmatrix} 4/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & 1/2 & -1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}
(5) 正則であり、A−1=[5/3−1−4/3−1/21/21/25/6−1/2−7/6]A^{-1} = \begin{bmatrix} 5/3 & -1 & -4/3 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 5/6 & -1/2 & -7/6 \end{bmatrix}
(6) 正則であり、A−1=[0−2/73/7−1−22111/7−13/7]A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -2/7 & 3/7 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 11/7 & -13/7 \end{bmatrix}

「代数学」の関連問題

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を $y$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める問題です。

放物線平行移動二次関数
2025/7/3

複素数の計算問題です。以下の3つの問題を解きます。 (4) $(3-i)-(1-i)$ (5) $(3+i)+4i$ (6) $6i - 9i$

複素数複素数計算四則演算
2025/7/3

(3) 複素数の引き算の問題です。 $(2+3i)-(3+i)$ を計算します。 (6) 虚数単位 $i$ の引き算の問題です。 $6i - 9i$ を計算します。

複素数複素数の計算虚数
2025/7/3

複素数の足し算を行う問題です。 (2) $(3 - 2i) + (2 - i)$ を計算しなさい。 (5) $(3 + i) + 4i$ を計算しなさい。

複素数足し算計算
2025/7/3

与えられた複素数の足し算と引き算を計算する問題です。 (1) $(4+2i)+(3+i)$ (4) $(3-i)-(1-i)$

複素数加算減算実部虚部
2025/7/3

与えられた複素数の式 $(2x+y-3)+(x-3y+2)i=0$ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。

複素数連立方程式実数
2025/7/3

複素数の等式が与えられています。実数 $x, y$ の値を求める問題です。 (1) $x + yi = 3 + 4i$ (3) $(x - y) + (x - 2y)i = 2 - i$

複素数実部虚部連立方程式
2025/7/3

与えられた連立一次方程式の解を求める問題です。 連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} -x + y + 2z + 2w = 0 \\ 2y + 6z = 0 \\ x + y ...

連立一次方程式線形代数解法
2025/7/3

不等式 $\frac{x-3}{2} - \frac{x-1}{3} > -1$ を解きます。

不等式一次不等式計算
2025/7/3

与えられた連立一次方程式が解を持たないことを示す問題です。連立方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} x + 2y + 6z = -3 \\ x + 2y + z = 1 \\ 2x...

連立一次方程式解の存在線形代数矛盾
2025/7/3