与えられた2つの2次関数について、グラフがx軸に接するような定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。 (1) $y = x^2 + mx + m + 3$ (2) $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + m^2 - m$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、グラフがx軸に接するような定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

(1) $y = x^2 + mx + m + 3$

(2) $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + m^2 - m$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸に接するということは、2次方程式にしたときの判別式 $D$ が $D = 0$ となることを利用します。

(1) $y = x^2 + mx + m + 3$ の場合

$x^2 + mx + m + 3 = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = m^2 - 4(m + 3) = m^2 - 4m - 12$

$D_1 = 0$ となる $m$ を求めます。

$m^2 - 4m - 12 = 0$

$(m - 6)(m + 2) = 0$

よって、$m = 6, -2$

$m = 6$ のとき、$y = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ となるので、接点は $(-3, 0)$

$m = -2$ のとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ となるので、接点は $(1, 0)$

(2) $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + m^2 - m$ の場合

$x^2 - 2\sqrt{2}x + m^2 - m = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2\sqrt{2})^2 - 4(m^2 - m) = 8 - 4m^2 + 4m$

$D_2 = 0$ となる $m$ を求めます。

$8 - 4m^2 + 4m = 0$

$-4m^2 + 4m + 8 = 0$

$m^2 - m - 2 = 0$

$(m - 2)(m + 1) = 0$

よって、$m = 2, -1$

$m = 2$ のとき、$y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = (x - \sqrt{2})^2$ となるので、接点は $(\sqrt{2}, 0)$

$m = -1$ のとき、$y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = (x - \sqrt{2})^2$ となるので、接点は $(\sqrt{2}, 0)$

3. 最終的な答え

(1)

$m = 6$ のとき、接点は $(-3, 0)$

$m = -2$ のとき、接点は $(1, 0)$

(2)

$m = 2$ のとき、接点は $(\sqrt{2}, 0)$

$m = -1$ のとき、接点は $(\sqrt{2}, 0)$