$a, b, c, d$ は1から6までの整数であり、$a \le b < c \le d$ を満たすとき、$a, b, c, d$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b, c, d$ は1から6までの整数であり、$a \le b < c \le d$ を満たすとき、$a, b, c, d$ の組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせを用いて解くことができます。まず、$b < c$という条件を、$b \le c-1$と書き換えます。次に、$c-1 = c'$とおくと、$c = c'+1$なので、$a \le b \le c' \le d$ という条件になります。

$a, b, c', d$は全て1から6までの整数なので、$a \le b \le c' \le d$ を満たす整数の組を考えます。

ここで、$a' = a, b' = b+1, c'' = c'+2, d' = d+3$ とおくと、$1 \le a' < b' < c'' < d' \le 9$ となります。

これは、$1, 2, \dots, 9$ の9個の整数から相異なる4個の整数を選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

したがって、求める組み合わせの数は ${}_9 C_4$ で計算できます。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

よって、$a \le b < c \le d$ を満たす $a, b, c, d$ の組み合わせは126通りです。

3. 最終的な答え

126通り