実数 $x$ に対して、命題「$x^2=1 \Rightarrow x=-1$」の真偽を調べ、逆、対偶、裏の命題をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べます。偽の場合は反例を挙げます。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、命題「$x^2=1 \Rightarrow x=-1$」の真偽を調べ、逆、対偶、裏の命題をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べます。偽の場合は反例を挙げます。

2. 解き方の手順

(1) 元の命題 $x^2 = 1 \Rightarrow x = -1$ の真偽：

$x^2 = 1$ を満たす $x$ は、$x = 1$ または $x = -1$ です。したがって、$x^2 = 1$ であっても $x = -1$ とは限りません。例えば、$x = 1$ は $x^2 = 1$ を満たしますが、$x = -1$ ではありません。

したがって、元の命題は偽です。反例は $x = 1$ です。

(2) 逆：$x = -1 \Rightarrow x^2 = 1$ の真偽：

$x = -1$ ならば、$x^2 = (-1)^2 = 1$ なので、$x^2 = 1$ は成り立ちます。したがって、逆の命題は真です。

(3) 対偶：$x \neq -1 \Rightarrow x^2 \neq 1$ の真偽：

対偶は元の命題の否定なので、元の命題が偽であれば対偶も偽です。

例えば、$x = 1$ は $x \neq -1$ を満たしますが、$x^2 = 1^2 = 1$ なので、$x^2 \neq 1$ ではありません。

したがって、対偶の命題は偽です。反例は $x=1$です。

(4) 裏：$x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$ の真偽：

$x^2 \neq 1$ であっても、$x = 1$ のとき、$x^2=1$なので、$x^2 \neq 1$ を満たすことはありません。 $x^2 \neq 1$ならば$x \neq -1$です。

$x$は実数なので、$x = 0$ のとき、$x^2 = 0 \neq 1$ であり、$x = 0 \neq -1$ です。

例えば、$x = 2$ のとき、$x^2 = 4 \neq 1$ であり、$x = 2 \neq -1$ です。

したがって、裏の命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 元の命題：$x^2 = 1 \Rightarrow x = -1$ (偽、反例: $x=1$)

(2) 逆：$x = -1 \Rightarrow x^2 = 1$ (真)

(3) 対偶：$x \neq -1 \Rightarrow x^2 \neq 1$ (偽、反例: $x=1$)

(4) 裏：$x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$ (真)