整式 $f(x)$ があり、$f(x)$ を $x+5$ で割ったときの余りが $-11$ で、$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割ったときの余りが $x+3$ である。このとき、$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ があり、$f(x)$ を $x+5$ で割ったときの余りが $-11$ で、$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割ったときの余りが $x+3$ である。このとき、$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を $(x+5)(x+2)^2$ で割ったときの商を $q(x)$、余りを $ax^2+bx+c$ とおくと、

$f(x) = (x+5)(x+2)^2 q(x) + ax^2 + bx + c$

と表せる。

$f(x)$ を $x+5$ で割ったときの余りが $-11$ であるから、剰余の定理より、

$f(-5) = -11$

$f(-5) = a(-5)^2 + b(-5) + c = 25a - 5b + c$

したがって、

$25a - 5b + c = -11$ (1)

$f(x)$ を $(x+2)^2$ で割ったときの余りが $x+3$ であるから、

$f(x) = (x+2)^2 Q(x) + x + 3$ (2)

ここで、$Q(x)$ はある整式である。

また、

$f(x) = (x+5)(x+2)^2 q(x) + ax^2 + bx + c$

$= (x+2)^2\{(x+5)q(x)\} + ax^2 + bx + c$

$= (x+2)^2\{(x+5)q(x)\} + a(x+2)^2 - a(x+2)^2 + ax^2 + bx + c$

$= (x+2)^2\{(x+5)q(x) + a\} -a(x^2+4x+4) + ax^2 + bx + c$

$= (x+2)^2\{(x+5)q(x) + a\} -ax^2 -4ax -4a + ax^2 + bx + c$

$= (x+2)^2\{(x+5)q(x) + a\} + (b-4a)x + (c-4a)$ (3)

(2)と(3)を比較すると、

$(b-4a)x + (c-4a) = x + 3$

したがって、

$b-4a = 1$ (4)

$c-4a = 3$ (5)

(4)より $b = 4a + 1$ (6)

(5)より $c = 4a + 3$ (7)

(1)に(6),(7)を代入すると、

$25a - 5(4a + 1) + (4a + 3) = -11$

$25a - 20a - 5 + 4a + 3 = -11$

$9a - 2 = -11$

$9a = -9$

$a = -1$

(6)より $b = 4(-1) + 1 = -3$

(7)より $c = 4(-1) + 3 = -1$

したがって、余りは $-x^2 -3x -1$

3. 最終的な答え

$-x^2 -3x -1$