直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が6である点Pを通り、傾きが2である直線 $m$ がある。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとする。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 三角形 ABP の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が6である点Pを通り、傾きが2である直線 $m$ がある。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとする。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 三角形 ABP の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Pの座標を求める。点Pは直線 $l$ 上にあり、$x=6$ なので、$y = \frac{1}{5}(6) + \frac{4}{5} = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2$。したがって、点Pの座標は $(6, 2)$ である。

直線 $m$ は傾きが2で点P $(6, 2)$ を通るので、$y = 2(x-6) + 2 = 2x - 12 + 2 = 2x - 10$。

よって、直線 $m$ の式は $y = 2x - 10$。

(2)

直線 $l$ と $x$ 軸との交点Aの座標を求める。$y=0$ とすると、$0 = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$。これを解くと、$\frac{1}{5}x = -\frac{4}{5}$、つまり $x = -4$。したがって、点Aの座標は $(-4, 0)$。

直線 $m$ と $x$ 軸との交点Bの座標を求める。$y=0$ とすると、$0 = 2x - 10$。これを解くと、$2x = 10$、つまり $x = 5$。したがって、点Bの座標は $(5, 0)$。

線分ABの長さは、$5 - (-4) = 9$。

点Pの $y$ 座標は2なので、三角形ABPの高さは2。

よって、三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times 2 = 9$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 10$

(2) 9