与えられた式を簡約化する問題です。式は次の通りです。 $\frac{x+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x}{x^2 - 1}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡約化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{x+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x}{x^2 - 1}$

2. 解き方の手順

まず、最初の項 $\frac{x+1}{x+1}$ を簡約化します。これは1になります。

$\frac{x+1}{x+1} = 1$

次に、与えられた式を書き換えます。

$1 + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x}{x^2 - 1}$

次に、 $x^2 - 1$ を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

式を書き換えます。

$1 + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x}{(x-1)(x+1)}$

通分するため、すべての項に共通の分母 $(x+2)(x-1)(x+1)$ を導入します。

$1 = \frac{(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

$\frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

$\frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(x+2)(x-1)(x+1) + (x+1)(x-1)(x+1) - x(x+2)}{(x+2)(x-1)(x+1)}$

分子を展開します。

$(x+2)(x^2-1) = x^3 + 2x^2 - x - 2$

$(x+1)^2(x-1) = (x^2 + 2x + 1)(x-1) = x^3 + 2x^2 + x - x^2 - 2x - 1 = x^3 + x^2 -x -1$

$x(x+2) = x^2 + 2x$

分子は次のようになります。

$x^3 + 2x^2 - x - 2 + x^3 + x^2 - x - 1 - x^2 - 2x = 2x^3 + 2x^2 - 4x - 3$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - 3}{(x+2)(x-1)(x+1)} = \frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - 3}{(x+2)(x^2 - 1)} = \frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - 3}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x^3 + 2x^2 - 4x - 3}{x^3 + 2x^2 - x - 2}$