与えられた数式を簡略化します。問題の式は、 $\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化します。問題の式は、

$\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x}$

です。

2. 解き方の手順

まず、共通の分母を見つけます。

3つの分母は$x+1$, $x+2$, $x$です。

これらの積が共通の分母になります: $x(x+1)(x+2)$.

次に、各項の分子を適切な因子で掛けます。

$\frac{x^2+1}{x+1} = \frac{(x^2+1)x(x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{(x^2+1)(x^2+2x)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x^4+2x^3+x^2+2x}{x(x+1)(x+2)}$

$\frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+1)x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{(x+1)(x^2+x)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x^3+x^2+x^2+x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x^3+2x^2+x}{x(x+1)(x+2)}$

$\frac{x^2-1}{x} = \frac{(x^2-1)(x+1)(x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{(x^2-1)(x^2+3x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x^4+3x^3+2x^2-x^2-3x-2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x^4+3x^3+x^2-3x-2}{x(x+1)(x+2)}$

したがって、

$\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{x+1}{x+2} - \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^4+2x^3+x^2+2x + x^3+2x^2+x - (x^4+3x^3+x^2-3x-2)}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{x^4+2x^3+x^2+2x + x^3+2x^2+x - x^4-3x^3-x^2+3x+2}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{(x^4-x^4)+(2x^3+x^3-3x^3)+(x^2+2x^2-x^2)+(2x+x+3x)+2}{x(x+1)(x+2)}$

$= \frac{2x^2+6x+2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2(x^2+3x+1)}{x(x+1)(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(x^2+3x+1)}{x(x+1)(x+2)}$