$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$

$y = (x - 2)^2 - 3$

この二次関数の頂点は $(2, -3)$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標が $2$ なので、定義域との位置関係で場合分けが必要です。

(i) $0 < a < 2$ のとき

定義域は頂点を含まないため、$x=a$ で最小値をとります。

$y = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a \ge 2$ のとき

定義域が頂点を含むため、$x=2$ で最小値をとります。

$y = (2 - 2)^2 - 3 = -3$

したがって、最小値は、

$0 < a < 2$ のとき、$a^2 - 4a + 1$

$a \ge 2$ のとき、$-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 2$ のとき、$a^2 - 4a + 1$

$a \ge 2$ のとき、$-3$