不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ の両辺の常用対数（底が10の対数）を取ります。

$$\log_{10}(\frac{1}{2})^n < \log_{10}0.01$$

対数の性質を用いて式を整理します。

$$n \log_{10}(\frac{1}{2}) < \log_{10}10^{-2}$$

$$n (\log_{10}1 - \log_{10}2) < -2$$

$$$$

\log_{10}1 = 0$ であるので、

$$n (0 - \log_{10}2) < -2$$

$$-n \log_{10}2 < -2$$

両辺に $-1$ をかけると不等号の向きが変わります。

$$n \log_{10}2 > 2$$

$\log_{10}2 = 0.3010$ を代入します。

$$n \times 0.3010 > 2$$

$$n > \frac{2}{0.3010}$$

$$n > \frac{2000}{301} \approx 6.6445$$

$n$ は整数であるため、$n$ は6より大きい最小の整数、すなわち7となります。

3. 最終的な答え

7