$13.5^n$ の整数部分が 4 桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が 4 桁であるような整数 $n$ の個数を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$13.5^n$ の整数部分が 4 桁であるという条件を数式で表します。整数部分が4桁であるとは、$1000 \le 13.5^n < 10000$ が成り立つことを意味します。

次に、この不等式の両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} 1000 \le \log_{10} (13.5^n) < \log_{10} 10000$

ここで、$\log_{10} 1000 = 3$ と $\log_{10} 10000 = 4$ であることを用いると、

$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$

となります。$13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3^3}{2}$ なので、

$\log_{10} 13.5 = \log_{10} \frac{3^3}{2} = \log_{10} 3^3 - \log_{10} 2 = 3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2 = 3(0.4771) - 0.3010 = 1.4313 - 0.3010 = 1.1303$

したがって、

$3 \le 1.1303n < 4$

各辺を 1.1303 で割ると、

$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$

$2.654 \le n < 3.539$

$n$ は整数なので、$n = 3$ となります。

$n = 3$ のとき、 $13.5^3 = 2460.375$ なので整数部分は 2460 となり、確かに 4 桁です。

問題文は「整数nの個数を求めよ」なので、まずnの範囲を求めます。

$3 \le n \log_{10} 13.5 < 4$

$3 \le n (\log_{10} 27 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (3\log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \le n (3 \times 0.4771 - 0.3010) < 4$

$3 \le n (1.4313 - 0.3010) < 4$

$3 \le 1.1303 n < 4$

$\frac{3}{1.1303} \le n < \frac{4}{1.1303}$

$2.654 \cdots \le n < 3.539 \cdots$

これを満たす整数nは $n=3$ のみなので、整数 n の個数は 1 です。

3. 最終的な答え

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