0でない4つの数 $a$, $b$, $c$, $d$ に対して、$(\frac{3}{4})^a = (\frac{5}{3})^b = (\frac{6}{5})^c = (\frac{3}{2})^d$ が成り立つとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

0でない4つの数 $a$, $b$, $c$, $d$ に対して、$(\frac{3}{4})^a = (\frac{5}{3})^b = (\frac{6}{5})^c = (\frac{3}{2})^d$ が成り立つとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$(\frac{3}{4})^a = (\frac{5}{3})^b = (\frac{6}{5})^c = (\frac{3}{2})^d = k$ とおきます。ここで $k>0$ です。

このとき、

$\frac{3}{4} = k^{\frac{1}{a}}$

$\frac{5}{3} = k^{\frac{1}{b}}$

$\frac{6}{5} = k^{\frac{1}{c}}$

$\frac{3}{2} = k^{\frac{1}{d}}$

が成り立ちます。

$\frac{3}{4} \times \frac{5}{3} \times \frac{6}{5} = k^{\frac{1}{a}} \times k^{\frac{1}{b}} \times k^{\frac{1}{c}}$

$\frac{3}{4} \times \frac{5}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

よって、

$\frac{3}{2} = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

一方、$\frac{3}{2} = k^{\frac{1}{d}}$ でもあるので、

$k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = k^{\frac{1}{d}}$

したがって、

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$