$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 5$ ($0 \le x \le a$) について、最小値と最大値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

この関数のグラフは、頂点が $(2, 1)$ で、下に凸な放物線である。

(1) 最小値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考える。

- $a \le 2$ のとき：

定義域の右端である $x=a$ で最小値を取る。最小値は $y = (a-2)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$。

- $a > 2$ のとき：

頂点の $x$ 座標 $x=2$ が定義域に含まれるため、$x=2$ で最小値を取る。最小値は $y = 1$。

(2) 最大値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考える。

軸 $x=2$ から最も離れた $x$ の値で最大値をとる。

- $0 < a \le 4$ のとき：

$x=0$ と $x=a$ のどちらが $x=2$ から離れているかを考える。$0 \le a \le 4$なので $a/2<2$ ならば$0$の方が離れており、$a/2 >2$ ならば$a$の方が離れている。$a/2=2$つまり$a=4$ならば、$0$と$a$の$x=2$からの距離は等しい。したがって$0 \le a < 4$ ならば、$x=0$で最大となり、$a>4$ならば$x=a$で最大となる。したがって、$0 \le a \le 4$の場合は、$x=0$の方が離れている。

$x=0$での値は $y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$。

- $a > 4$ のとき：

$x=a$の方が軸から離れているので、$x=a$で最大値を取る。

$x=a$での値は $y = a^2 - 4a + 5$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

- $0 < a \le 2$ のとき：$a^2 - 4a + 5$

- $a > 2$ のとき：$1$

(2) 最大値

- $0 < a \le 4$ のとき：$5$

- $a > 4$ のとき：$a^2 - 4a + 5$