関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 2x - 1$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求める。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$x$ の変化量に対する $y$ の変化量の割合で定義されます。つまり、

平均変化率 $= \frac{yの変化量}{xの変化量} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

ここで、$f(x) = x^2 + 2x - 1$ です。

まず、$f(a)$ と $f(b)$ を計算します。

$f(a) = a^2 + 2a - 1$

$f(b) = b^2 + 2b - 1$

次に、$f(b) - f(a)$ を計算します。

$f(b) - f(a) = (b^2 + 2b - 1) - (a^2 + 2a - 1) = b^2 - a^2 + 2b - 2a$

さらに、$b^2 - a^2$ を因数分解します。

$b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$

したがって、

$f(b) - f(a) = (b - a)(b + a) + 2(b - a)$

$(b - a)$ でくくると、

$f(b) - f(a) = (b - a)(b + a + 2)$

平均変化率は、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a}$

$b \ne a$ のとき、$b - a$ で割ることができます。

$\frac{(b - a)(b + a + 2)}{b - a} = b + a + 2$

3. 最終的な答え

$a + b + 2$