不等式 $(\frac{1}{6})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{6})^n < 0.0001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{6})^n < 0.0001$ の両辺の常用対数（底が10の対数）をとります。

$\log_{10}(\frac{1}{6})^n < \log_{10}(0.0001)$

$n \log_{10}(\frac{1}{6}) < \log_{10}(10^{-4})$

$n \log_{10}(6^{-1}) < -4$

$-n \log_{10}6 < -4$

$n \log_{10}6 > 4$

ここで、$\log_{10}6 = \log_{10}(2 \times 3) = \log_{10}2 + \log_{10}3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ となります。

したがって、$n (0.7781) > 4$

$n > \frac{4}{0.7781} \approx 5.14$

$n$ は整数なので、不等式を満たす最小の整数は6です。

3. 最終的な答え

6