$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$ \log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるとは、$1000 \le 4.32^n < 10000$ が成り立つということです。この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10}1000 \le \log_{10}(4.32^n) < \log_{10}10000$

$3 \le n \log_{10}4.32 < 4$

となります。ここで、$\log_{10}4.32$ を計算する必要があります。

$4.32 = \frac{432}{100} = \frac{2^4 \cdot 3^3}{10^2}$ なので、

$\log_{10}4.32 = \log_{10}\frac{2^4 \cdot 3^3}{10^2} = \log_{10}(2^4 \cdot 3^3) - \log_{10}10^2 = 4\log_{10}2 + 3\log_{10}3 - 2$

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10}4.32 = 4(0.3010) + 3(0.4771) - 2 = 1.204 + 1.4313 - 2 = 2.6353 - 2 = 0.6353$

したがって、$3 \le 0.6353n < 4$ となります。各辺を $0.6353$ で割ると、

$\frac{3}{0.6353} \le n < \frac{4}{0.6353}$

$\frac{3}{0.6353} \approx 4.722 \dots$

$\frac{4}{0.6353} \approx 6.296 \dots$

$4.722 \le n < 6.296$ を満たす整数 $n$ は $5, 6$ の2つです。

3. 最終的な答え

2個