与えられた関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を簡単にするために、分母の有理化を行う。分母と分子に $x - \sqrt{x^2 - 1}$ を掛ける。

$y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$

$y = \frac{(x - \sqrt{x^2 - 1})^2}{x^2 - (x^2 - 1)}$

$y = \frac{x^2 - 2x\sqrt{x^2 - 1} + (x^2 - 1)}{x^2 - x^2 + 1}$

$y = \frac{2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2 - 1}}{1}$

$y = 2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2 - 1}$