関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を簡略化せよ。

複数の問題があるため、まず問題11を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ を簡略化せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$ の分子と分母に $x - \sqrt{x^2 - 1}$ を掛ける。

$y = \frac{(x - \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})}{(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})}$

$y = \frac{(x - \sqrt{x^2 - 1})^2}{x^2 - (x^2 - 1)}$

$y = (x - \sqrt{x^2 - 1})^2$

$y = x^2 - 2x\sqrt{x^2 - 1} + x^2 - 1$

$y = 2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 1 - 2x\sqrt{x^2 - 1}$