ある数に対して、各桁の数字の2乗の和を求める操作を繰り返します。最初の数が5の時の例が示されており、最初の数が9の時、2025回目の操作の結果求まる数を求める問題です。

数論整数の性質数列周期性桁の操作
2025/7/2

1. 問題の内容

ある数に対して、各桁の数字の2乗の和を求める操作を繰り返します。最初の数が5の時の例が示されており、最初の数が9の時、2025回目の操作の結果求まる数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最初の数が9の場合に、操作を繰り返してどのような数列になるか調べます。
1回目の操作:92=819^2 = 81
2回目の操作:82+12=64+1=658^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65
3回目の操作:62+52=36+25=616^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61
4回目の操作:62+12=36+1=376^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37
5回目の操作:32+72=9+49=583^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58
6回目の操作:52+82=25+64=895^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89
7回目の操作:82+92=64+81=1458^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145
8回目の操作:12+42+52=1+16+25=421^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42
9回目の操作:42+22=16+4=204^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20
10回目の操作:22+02=42^2 + 0^2 = 4
11回目の操作:42=164^2 = 16
12回目の操作:12+62=1+36=371^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37
ここで37が現れました。4回目の操作の結果が37だったので、以降は37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ... と周期8で繰り返されることが分かります。
2025回目の操作の結果を求めるには、12回目以降の操作回数 (202511)=2014(2025 - 11) = 2014 を8で割った余りを考えます。
2014÷8=2512014 \div 8 = 251 あまり 66
したがって、2025回目の操作の結果は、12回目から数えて6番目の数、すなわち、37,58,89,145,42,2037, 58, 89, 145, 42, 20 の6番目である20となります。

3. 最終的な答え

20

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