$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$

よって、この関数の頂点は $(2, -3)$ です。

定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

$a$ の値によって場合分けを行います。

(1) $0 < a < 2$ のとき

定義域の範囲内で関数は単調減少であるため、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

(2) $a = 2$ のとき

定義域の範囲内で関数は $x=0$ で最大値、$x=2$ で最小値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

(3) $a > 2$ のとき

定義域の右端 $x=a$ の値によって場合分けが生じます。

$x=0$ と $x=a$ の $y$ の値を比較します。

$x=0$ のとき $y = 1$

$x=a$ のとき $y = a^2 - 4a + 1$

$a^2 - 4a + 1 > 1$ となる $a$ の範囲を求めます。

$a^2 - 4a > 0$

$a(a - 4) > 0$

$a > 0$ であることから、$a - 4 > 0$ より $a > 4$ のとき、$a^2 - 4a + 1 > 1$ となります。

したがって、$2 < a \le 4$ のとき、$x=0$ で最大値 $1$ をとり、$a > 4$ のとき、$x=a$ で最大値 $a^2 - 4a + 1$ をとります。

まとめると、

(i) $0 < a \le 4$ のとき、最大値は $1$

(ii) $a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 4$ のとき、最大値は $1$

$a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$