与えられた点と直線の間の距離を求めます。以下の３つの問題があります。 (1) 点 $(2, -3)$，直線 $2x + y - 3 = 0$ (2) 原点，直線 $3x - 2y + 9 = 0$ (3) 点 $(-1, 5)$，直線 $y = 3x - 2$

1. 問題の内容

与えられた点と直線の間の距離を求めます。以下の３つの問題があります。

(1) 点 $(2, -3)$，直線 $2x + y - 3 = 0$

(2) 原点，直線 $3x - 2y + 9 = 0$

(3) 点 $(-1, 5)$，直線 $y = 3x - 2$

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は次の式で与えられます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 点 $(2, -3)$ と直線 $2x + y - 3 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$ を代入します。

$d = \frac{|2(2) + 1(-3) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 3 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) 原点 $(0, 0)$ と直線 $3x - 2y + 9 = 0$ の距離を求めます。

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 3$, $b = -2$, $c = 9$ を代入します。

$d = \frac{|3(0) - 2(0) + 9|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{13}$

(3) 点 $(-1, 5)$ と直線 $y = 3x - 2$ の距離を求めます。

まず、直線の式を $3x - y - 2 = 0$ の形にします。

$x_0 = -1$, $y_0 = 5$, $a = 3$, $b = -1$, $c = -2$ を代入します。

$d = \frac{|3(-1) - 1(5) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 5 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{9\sqrt{13}}{13}$

(3) $\sqrt{10}$