$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y - x^2 + 2x > |y - 1|\}$ を図示せよ。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^2$ の部分集合 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y - x^2 + 2x > |y - 1|\}$ を図示せよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は $y - x^2 + 2x > |y - 1|$ である。絶対値を外すために場合分けを行う。

(1) $y \geq 1$ のとき、 $|y - 1| = y - 1$ であるから、不等式は $y - x^2 + 2x > y - 1$ となる。これを整理すると、$x^2 - 2x - 1 < 0$ である。

$x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$ であるから、$(x - 1)^2 < 2$ となる。したがって、$-\sqrt{2} < x - 1 < \sqrt{2}$ より、$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ である。この領域は $y \geq 1$ との共通部分をとる。

(2) $y < 1$ のとき、 $|y - 1| = -(y - 1) = 1 - y$ であるから、不等式は $y - x^2 + 2x > 1 - y$ となる。これを整理すると、$2y > x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ より、$y > \frac{1}{2}(x - 1)^2$ となる。この領域は $y < 1$ との共通部分をとる。

したがって、求める領域は、

(1) $y \geq 1$ かつ $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ である領域と、

(2) $y < 1$ かつ $y > \frac{1}{2}(x - 1)^2$ である領域の和集合である。

3. 最終的な答え

求める領域は以下の通りである。

(1) $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ かつ $y \geq 1$

(2) $y < 1$ かつ $y > \frac{1}{2}(x - 1)^2$

これらの領域を図示する必要があるが、テキストで図を示すことはできない。それぞれの領域を座標平面にプロットすることで答えとなる。