与えられた無限級数の収束、発散を調べ、収束する場合にはその和を求める。 無限級数は $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の収束、発散を調べ、収束する場合にはその和を求める。

無限級数は $\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{3\cdot5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + \dots$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に$(2n-1)(2n+1)$をかけると、

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$1 = (2A+2B)n + (A-B)$

係数比較により、

$2A+2B = 0$

$A-B = 1$

これを解くと、$A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

次に、部分和$S_n$を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

最後に、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2}(1-0) = \frac{1}{2}$

したがって、無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

収束し、和は$\frac{1}{2}$