## 問題の解答

## 問題の解答

### [3] 真偽判定

(1) $x=4 \Rightarrow x^2 = 16$

(2) $x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$

(3) $0=3$

(4) $x=3 \Rightarrow 2x=6$

(5) $n$が偶数 $\Rightarrow n^2$も偶数

(6) $n$が整数 $\Rightarrow \sqrt{n^2} = n$

(7) $x$が有理数 $\Rightarrow 2x$も有理数

(8) $(x-1)(x+2)=0 \Rightarrow x=1$

### 解き方の手順

各命題の真偽を判定します。

* (1) $x=4$ ならば $x^2=16$ は正しいので真（T）。

* (2) $x^2=16$ ならば $x=4$ とは限らない（$x=-4$の場合もある）ので偽（F）。

* (3) $0=3$ は明らかに偽（F）。

* (4) $x=3$ ならば $2x=6$ は正しいので真（T）。

* (5) $n$が偶数ならば $n=2k$ （$k$は整数）と表せるので、$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$ となり、$n^2$も偶数なので真（T）。

* (6) $n$が整数ならば$\sqrt{n^2} = |n|$となり、$n$が負の数の時$\sqrt{n^2} \neq n$となるので偽（F)。

* (7) $x$が有理数ならば$x=\frac{p}{q}$（$p, q$は整数、$q \neq 0$）と表せるので、$2x = 2\frac{p}{q} = \frac{2p}{q}$ となり、$2x$も有理数なので真（T）。

* (8) $(x-1)(x+2)=0$ より、$x=1$または$x=-2$。したがって、$x=1$とは限らないので偽（F）。

### 最終的な答え

(1) T

(2) F

(3) F

(4) T

(5) T

(6) F

(7) T

(8) F

### [4] 反例

(1) $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$

(2) $x^2 - 6x + 8 = 0 \Rightarrow x = 4$

(3) $n$が3の倍数 $\Rightarrow n$が9の倍数

(4) $3 < x < 6 \Rightarrow 2 < x < 4$

### 解き方の手順

各命題が偽であることを示す反例を挙げます。

* (1) $x^2=9$ のとき、$x=-3$ も解となる。反例：$x=-3$。

* (2) $x^2 - 6x + 8 = 0$ を解くと、$(x-2)(x-4)=0$ より、$x=2, 4$。$x=2$ は、$x=4$ ではない解となる。反例：$x=2$。

* (3) $n$が3の倍数でも9の倍数とは限らない。反例：$n=6$。

* (4) $3 < x < 6$ でも、$2 < x < 4$ とは限らない。反例：$x=5$。

### 最終的な答え

(1) $x = -3$

(2) $x = 2$

(3) $n = 6$

(4) $x = 5$

### [5] 必要条件・十分条件の選択

(1) x = 6は、x² = 36であるための…

(2) x = 6は、2x = 12 であるための…

(3) x² = 4は、x=2であるための…

(4) x <4は、x=2であるための…

(5) 3x = 9は、x=3であるための…

(6) -1<x<2は、0<x<3であるための…

(7)-2<x<1は、-3<x<2であるための…

(8) 自然数nについて 「nが6の倍数」は、「nが3の倍数」であるための…

(9)a+b=0は、a=b=0であるための…

(10) x=2は、(x-2)(x+1)=0であるための…

(11) a = 0は、ab=0であるための…

(12) ac = bcは、a=bであるための…

(13)x=2は、x²-5x+6=0であるための…

(14) xy = 1は、「x=1かつy=1」であるための…

(15)-1<x<1は、2x-2<0であるための…

(16) x² + y² = 0は、x=0かつy=0であるための…

(17) 「x=0かつy=0」は、xy = 0 であるための…

(18) ab = 0は、(a+b)² = a² + b²であるための…

### 解き方の手順

各文について、必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを判断します。

* (1) $x=6$ ならば $x^2 = 36$ は成り立つ。$x^2 = 36$ ならば $x = 6$ とは限らない ($x = -6$ の場合もある)。よって、十分条件だが必要条件ではない。（ア）

* (2) $x=6$ ならば $2x = 12$ は成り立つ。$2x = 12$ ならば $x = 6$ は成り立つ。よって、必要十分条件である。（ウ）

* (3) $x^2 = 4$ ならば $x = 2$ とは限らない ($x = -2$ の場合もある)。$x = 2$ ならば $x^2 = 4$ は成り立つ。よって、必要条件だが十分条件ではない。（イ）

* (4) $x < 4$ ならば $x = 2$ とは限らない。$x = 2$ ならば $x < 4$ は成り立つ。よって、必要条件だが十分条件ではない。（イ）

* (5) $3x = 9$ ならば $x = 3$ は成り立つ。$x = 3$ ならば $3x = 9$ は成り立つ。よって、必要十分条件である。（ウ）

* (6) $-1 < x < 2$ ならば $0 < x < 3$ は成り立つ。$0 < x < 3$ ならば $-1 < x < 2$ とは限らない ($x = 2.5$ の場合もある)。よって、十分条件だが必要条件ではない。（ア）

* (7) $-2 < x < 1$ ならば $-3 < x < 2$ は成り立つ。$-3 < x < 2$ ならば $-2 < x < 1$ とは限らない ($x = -2.5$ の場合もある)。よって、十分条件だが必要条件ではない。（ア）

* (8) $n$が6の倍数 ならば $n$が3の倍数 は成り立つ。$n$が3の倍数 ならば $n$が6の倍数とは限らない。よって、十分条件だが必要条件ではない。（ア）

* (9) $a+b = 0$ ならば $a = b = 0$ とは限らない ($a = 1, b = -1$ の場合もある)。$a = b = 0$ ならば $a + b = 0$ は成り立つ。よって、必要条件だが十分条件ではない。（イ）

* (10) $x=2$ ならば $(x-2)(x+1)=0$ は成り立つ。$(x-2)(x+1)=0$ ならば $x=2$ または $x=-1$である。したがって、$x=2$は必要条件である。よって、十分条件だが、必要条件ではない。（ア）

* (11) $a = 0$ ならば $ab=0$ は成り立つ。$ab = 0$ ならば $a=0$ または $b=0$ である。したがって、$a=0$は十分条件である。よって、十分条件だが、必要条件ではない。（ア）

* (12) $ac = bc$ ならば $a=b$ とは限らない(c=0のとき)。$a=b$ ならば $ac=bc$は成り立つ。したがって、$a=b$は必要条件である。よって、必要条件だが、十分条件ではない。（イ）

* (13) $x=2$ならば、$x^2 - 5x + 6 = 0$は成り立つ。$x^2 - 5x + 6 = 0$を解くと、$(x-2)(x-3) = 0$だから、$x=2, 3$。したがって、$x=2$は十分条件である。よって、十分条件だが、必要条件ではない。（ア）

* (14) $xy = 1$ならば、$x=1$かつ$y=1$とは限らない。$x=1$かつ$y=1$ならば$xy = 1$は成り立つ。よって、必要条件だが、十分条件ではない。（イ）

* (15) $-1 < x < 1$ならば、$2x-2 < 0$は成り立つ。$2x-2 < 0$ならば、$x < 1$。この範囲は、$-1 < x < 1$よりも広いので、$-1 < x < 1$とは限らない。したがって、十分条件だが、必要条件ではない。（ア）

* (16) $x^2+y^2=0$ならば、$x=0$かつ$y=0$は成り立つ。$x=0$かつ$y=0$ならば、$x^2+y^2=0$は成り立つ。よって、必要十分条件である。（ウ）

* (17) 「x=0かつy=0」ならば、$xy = 0$は成り立つ。$xy = 0$ならば、$x=0$または$y=0$。したがって、「x=0かつy=0」は十分条件である。よって、十分条件だが、必要条件ではない。（ア）

* (18) $ab=0$ならば、$(a+b)^2 = a^2 + b^2$は成り立つ。$ab=0$ならば、$a=0$または$b=0$。$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$だから、$2ab=0$より、$(a+b)^2 = a^2 + b^2$は成り立つ。また、$(a+b)^2=a^2+b^2$ならば、$ab=0$が成り立つ。よって、必要十分条件である。（ウ）

### 最終的な答え

(1) ア

(2) ウ

(3) イ

(4) イ

(5) ウ

(6) ア

(7) ア

(8) ア

(9) イ

(10) ア

(11) ア

(12) イ

(13) ア

(14) イ

(15) ア

(16) ウ

(17) ア

(18) ウ