与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関して展開することができます。ここでは、計算を簡単にするために、行基本変形を用いてできるだけ多くの0を生成することを試みます。

まず、1行目を基準に3行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

-1 & 2 & 3 & -11 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を2倍して1行目に足します。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 & -19 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

-1 & 2 & 3 & -11 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目を14倍して2行目から引きます。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 1 & -19 \\

8 & -15 & -28 & 155 \\

-1 & 2 & 3 & -11 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

第一行に関して展開することで

$1 \times \begin{vmatrix}

8 & -15 & 155 \\

-1 & 2 & -11 \\

2 & -5 & 5

\end{vmatrix} - (-19) \times \begin{vmatrix}

8 & -15 & -28 \\

-1 & 2 & 3 \\

2 & -5 & 0

\end{vmatrix}$

$$

\begin{vmatrix}

8 & -15 & 155 \\

-1 & 2 & -11 \\

2 & -5 & 5

\end{vmatrix} = 8(10-55) + 15(-5+22) + 155(5-4) = 8(-45) + 15(17) + 155 = -360 + 255 + 155 = 50

$$

$$

\begin{vmatrix}

8 & -15 & -28 \\

-1 & 2 & 3 \\

2 & -5 & 0

\end{vmatrix} = 2(-45 + 56) + 5(24-28) = 2(11) + 5(-4) = 22-20 = 2

$$

$50 + 19(2) = 50 + 38 = 88$

3. 最終的な答え

88