複素数 $w$ が中心 $-1$, 半径 $1$ の円周上を動くとき, $z = \frac{w+1}{w-1}$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数 $w$ が中心 $-1$, 半径 $1$ の円周上を動くとき, $z = \frac{w+1}{w-1}$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

$w$ が中心 $-1$, 半径 $1$ の円周上を動くので、$w$ は次のように表せる。

$w = -1 + e^{i\theta}$ (ただし、$\theta$ は実数)

これを $z = \frac{w+1}{w-1}$ に代入する。

$z = \frac{-1 + e^{i\theta} + 1}{-1 + e^{i\theta} - 1} = \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta} - 2}$

$z = \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta} - 2}$ の分母と分子に $e^{-i\theta/2}$ を掛ける。

$z = \frac{e^{i\theta/2}}{e^{i\theta/2} - 2e^{-i\theta/2}} = \frac{e^{i\theta/2}}{(\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)) - 2(\cos(-\theta/2) + i\sin(-\theta/2))} = \frac{e^{i\theta/2}}{\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2) - 2\cos(\theta/2) + 2i\sin(\theta/2)} = \frac{e^{i\theta/2}}{-\cos(\theta/2) + 3i\sin(\theta/2)}$

$z = \frac{e^{i\theta/2}}{-\cos(\theta/2) + 3i\sin(\theta/2)} = \frac{\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)}{-\cos(\theta/2) + 3i\sin(\theta/2)}$

$z = \frac{\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)}{-\cos(\theta/2) + 3i\sin(\theta/2)}$ の分母と分子に $(-\cos(\theta/2) - 3i\sin(\theta/2))$ を掛ける。

$z = \frac{(\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2))(-\cos(\theta/2) - 3i\sin(\theta/2))}{(-\cos(\theta/2) + 3i\sin(\theta/2))(-\cos(\theta/2) - 3i\sin(\theta/2))} = \frac{-\cos^2(\theta/2) - 3i\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) - i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) + 3\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)} = \frac{-\cos^2(\theta/2) + 3\sin^2(\theta/2) - 4i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)} = \frac{-\cos^2(\theta/2) + 3\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)} - \frac{4i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)}$

$z = x + iy$ とおくと、

$x = \frac{-\cos^2(\theta/2) + 3\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)}$

$y = \frac{-4\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + 9\sin^2(\theta/2)}$

ここで、別の方法を試す。

$z = \frac{w+1}{w-1}$ より、$z(w-1) = w+1$

$zw - z = w+1$

$zw - w = z+1$

$w(z-1) = z+1$

$w = \frac{z+1}{z-1}$

$|w+1| = 1$ より $|\frac{z+1}{z-1} + 1| = 1$

$|\frac{z+1+z-1}{z-1}| = 1$

$|\frac{2z}{z-1}| = 1$

$|2z| = |z-1|$

$|2(x+iy)| = |x+iy - 1|$

$|2x+2iy| = |(x-1) + iy|$

$\sqrt{(2x)^2 + (2y)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

$3x^2 + 2x + 3y^2 = 1$

$3(x^2 + \frac{2}{3}x) + 3y^2 = 1$

$3(x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2) + 3y^2 = 1 + 3(\frac{1}{3})^2$

$3(x+\frac{1}{3})^2 + 3y^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$(x+\frac{1}{3})^2 + y^2 = \frac{4}{9}$

これは、中心 $(-\frac{1}{3}, 0)$, 半径 $\frac{2}{3}$ の円である。

3. 最終的な答え

中心 $-\frac{1}{3}$, 半径 $\frac{2}{3}$ の円