**問題1:** 命題A「nが2の倍数ならばnは8の倍数」に関する真偽、逆、裏、対偶について問われている。 **問題2:** 「n²が偶数ならばnは偶数」という命題の証明を完成させる問題である。空欄を埋める。 **問題3:** 「√2は無理数である」という命題を背理法で証明する文章を完成させる問題である。空欄を埋める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

**問題1:** 命題A「nが2の倍数ならばnは8の倍数」に関する真偽、逆、裏、対偶について問われている。

**問題2:** 「n²が偶数ならばnは偶数」という命題の証明を完成させる問題である。空欄を埋める。

**問題3:** 「√2は無理数である」という命題を背理法で証明する文章を完成させる問題である。空欄を埋める。

2. 解き方の手順

**問題1:**

(1) 命題Aの逆: 「nが8の倍数ならばnは2の倍数」

(2) 命題Aの逆の真偽: 真 (8の倍数は必ず2の倍数であるため)

(3) 命題Aの裏: 「nが2の倍数でなければnは8の倍数ではない」

(4) 命題Aの裏の真偽: 偽 (例えば、n=6は2の倍数ではないが、8の倍数でもない。n=10は2の倍数でなく、8の倍数でもない。しかしn=1は2の倍数ではなく、8の倍数でもない。n=3は2の倍数ではなく、8の倍数でもない。反例として、n=6は2の倍数ではないが、8の倍数ではない。)

(5) 命題Aの対偶: 「nが8の倍数でなければnは2の倍数ではない」

(6) 命題Aの対偶の真偽: 偽 (対偶は元の命題の真偽と一致する。命題Aが偽なので、対偶も偽である。)

n=6は2の倍数であり、８の倍数ではない。

**問題2:**

もとの命題: 「n² が偶数⇒nは偶数」の対偶: 「nが(①)⇒n²は(②)」が(③)ことを証明する。

①: 奇数

②: 奇数

③: 真

仮定(①)の下でnは自然数mを用いてn = (④)と表すことができる。

④: 2m-1

両辺を2乗すると $n^2 = (2m-1)^2 = 4m^2 - 4m + (⑤)$ となるがこれはn² が奇数であることを意味する。

⑤: 1

したがって、(⑥) が真であることが証明されたので、もとの命題 「n²が偶数⇒nは偶数」も真である。

⑥: 対偶

**問題3:**

√2 は無理数ではない、つまり√2が(①)であると(②)する。

①: 有理数

②: 仮定

このとき√2は、1以外の正の(③)をもたない(つまりこれ以上約分できない) 2つの自然数A,Bを用いて

√2 = $A/B$ と表すことができる。

この式の両辺をB倍すると、√2B = A

さらに両辺を2乗すると、(④) $B^2 = A^2$

④: 2

この左辺は偶数であるから、右辺の$A^2$ も当然偶数である。このとき前問 [2] で得た結果により、Aは偶数である。

よって、自然数Cを用いて A = (⑤) と表すことができる。⑤を④のときの式に代入すると、2$B^2$ = 4$C^2$

両辺を2で割ると、$B^2$= (⑥) $C^2$

⑤: 2C

⑥: 2

この式は、$B^2$が偶数、つまりBが(⑦)であることを意味する。

⑦: 偶数

以上から、AとBがどちらとも(⑧) であることになり、「AとBが1以外の正の公約数をもたない」という仮定と

⑧: 偶数

⑨: 矛盾

したがって、√2が(⑩)であることが証明された。

⑩: 無理数

3. 最終的な答え

**問題1:**

(1) 逆: nが8の倍数ならばnは2の倍数

(2) 真偽: 真

(3) 裏: nが2の倍数でなければnは8の倍数ではない

(4) 真偽: 偽

(5) 対偶: nが8の倍数でなければnは2の倍数ではない

(6) 真偽: 偽

**問題2:**

① 奇数

② 奇数

③ 真

④ 2m-1

⑤ 1

⑥ 対偶

**問題3:**

① 有理数

② 仮定

③ 公約数

④ 2

⑤ 2C

⑥ 2

⑦ 偶数

⑧ 偶数

⑨ 矛盾

⑩ 無理数