焼きそばの販売価格をいくらに設定すれば良いかを考える問題です。 前提として、 * 1個200円で売ると320個売れる。 * 1個の値段を50円上げるごとに、売れる個数は40個減る。 * 1個作るのに原価100円かかる。 * 1個の販売価格を$x$円、売り上げ金額を$y$円とする。 これらの条件下で、売上金額や利益を最大化するための販売価格を求めます。

1. 問題の内容

焼きそばの販売価格をいくらに設定すれば良いかを考える問題です。

前提として、

* 1個200円で売ると320個売れる。

* 1個の値段を50円上げるごとに、売れる個数は40個減る。

* 1個作るのに原価100円かかる。

* 1個の販売価格を$x$円、売り上げ金額を$y$円とする。

これらの条件下で、売上金額や利益を最大化するための販売価格を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 焼きそばの売れる個数を$x$を用いて表す。

販売価格が$x$円のとき、200円からの値上げ幅は$(x - 200)$円です。

50円の値上げごとに40個減るので、$(x - 200)$円の値上げで、

$\frac{x - 200}{50} \times 40$個減ります。

したがって、売れる個数は

$320 - \frac{x - 200}{50} \times 40 = 320 - \frac{4}{5}(x - 200) = 320 - \frac{4}{5}x + 160 = 480 - \frac{4}{5}x$。

(2) 売り上げ金額$y$を$x$を用いて表す。

売り上げ金額$y$は、販売価格$x$と売れる個数の積なので、

$y = x \times (480 - \frac{4}{5}x) = 480x - \frac{4}{5}x^2 = -\frac{4}{5}x^2 + 480x$。

(3) (2)で得た式を$y = a(x-p)^2 + q$の形に変形する。

$y = -\frac{4}{5}(x^2 - 600x) = -\frac{4}{5}(x^2 - 600x + 300^2 - 300^2) = -\frac{4}{5}((x - 300)^2 - 90000) = -\frac{4}{5}(x - 300)^2 + 72000$。

(4) 売り上げ金額を最大にするには、1個の値段をいくらにすればよいか。

(3)の式から、頂点の$x$座標は$x = 300$なので、売り上げ金額を最大にするには1個の値段を300円にすればよい。

(5) 1個売るごとの利益。

販売価格が$x$円のとき、1個売るごとの利益は$(x - 100)$円。

(6) $x$円で売ったときの利益を$x$を用いて表す。

利益は、(販売価格 - 原価) × 売れる個数 なので、

$y = (x - 100) \times (480 - \frac{4}{5}x) = 480x - \frac{4}{5}x^2 - 48000 + \frac{400}{5}x = -\frac{4}{5}x^2 + 560x - 48000$。

(7) (6)で得た式を$a(x-p)^2 + q$の形に変形する。

$y = -\frac{4}{5}(x^2 - 700x) - 48000 = -\frac{4}{5}(x^2 - 700x + 350^2 - 350^2) - 48000 = -\frac{4}{5}((x - 350)^2 - 122500) - 48000 = -\frac{4}{5}(x - 350)^2 + 98000 - 48000 = -\frac{4}{5}(x - 350)^2 + 50000$。

(8) 利益を最大にするには、1個の値段をいくらにすればよいか。

(7)の式から、頂点の$x$座標は$x = 350$なので、利益を最大にするには1個の値段を350円にすればよい。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{4}{5}x + 480$

(2) $-\frac{4}{5}x^2 + 480x$

(3) $-\frac{4}{5}(x - 300)^2 + 72000$

(4) 300

(5) $x - 100$

(6) $-\frac{4}{5}x^2 + 560x - 48000$

(7) $-\frac{4}{5}(x - 350)^2 + 50000$

(8) 350