(1) 2次関数 $y = -2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-4だけ平行移動した放物線を表す2次関数を求める。 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める。 (3) 2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 4$ ($0 \le x \le 3$) の最大値と最小値を求める。 (4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ の解を求める。 (5) 2次関数 $y = x^2 - kx + 1$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたないとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = -2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-4だけ平行移動した放物線を表す2次関数を求める。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフの頂点の座標を求める。

(3) 2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 4$ ($0 \le x \le 3$) の最大値と最小値を求める。

(4) 2次不等式 $x(x+2) > 0$ の解を求める。

(5) 2次関数 $y = x^2 - kx + 1$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたないとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するとき、$x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ に置き換える。

$y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に3、$y$ 軸方向に-4だけ平行移動すると、

$y + 4 = -2(x - 3)^2$

$y = -2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 18 - 4$

$y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) 頂点の座標

$y = -x^2 + 2x + 5$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 5$

$y = -(x - 1)^2 + 6$

頂点の座標は $(1, 6)$

(3) 最大値と最小値

$y = 2(x-1)^2 - 4$ ($0 \le x \le 3$)

頂点は $(1, -4)$ であり、軸は $x=1$。

$x=0$ のとき $y = 2(0-1)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$

$x=1$ のとき $y = 2(1-1)^2 - 4 = -4$

$x=3$ のとき $y = 2(3-1)^2 - 4 = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$

最大値は 4, 最小値は -4

(4) 2次不等式

$x(x+2) > 0$

$x < -2$ または $x > 0$

(5) 共有点を持たない条件

$y = x^2 - kx + 1$ が $x$ 軸と共有点を持たないということは、$x^2 - kx + 1 = 0$ が実数解を持たないということである。

判別式 $D = (-k)^2 - 4(1)(1) < 0$

$k^2 - 4 < 0$

$(k - 2)(k + 2) < 0$

$-2 < k < 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 12x - 22$

(2) $(1, 6)$

(3) 最大値: 4, 最小値: -4

(4) $x < -2$ または $x > 0$

(5) $-2 < k < 2$