与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) $\frac{7}{12}$ は第何項か。 (2) 第200項を求めよ。 (3) 初項から第200項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) $\frac{7}{12}$ は第何項か。

(2) 第200項を求めよ。

(3) 初項から第200項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{7}{12}$ が第何項かを求める。

数列の規則性から、分母が $n$ である項の数は $n-1$ 個である。

分母が2から11までの項の数の合計は、

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = \frac{10(10+1)}{2} = 55$ である。

分母が12の項は、$\frac{1}{12}, \frac{2}{12}, \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}, \dots$ となる。

$\frac{7}{12}$ は分母が12の項の中で7番目であるから、$\frac{7}{12}$ は第 $55 + 7 = 62$ 項である。

(2) 第200項を求める。

分母が $n$ である項の数の合計が200を超えるような最小の $n$ を求める。

$\frac{n(n-1)}{2} < 200$ を満たす最大の整数 $n$ を求めると、

$n(n-1) < 400$ より、 $n = 20$ のとき $20 \times 19 = 380 < 400$ であり、$n = 21$ のとき $21 \times 20 = 420 > 400$ である。

したがって、分母が20までの項の数は $\frac{20(20-1)}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ 個である。

第200項は、分母が21の項のうちの第 $200 - 190 = 10$ 番目である。

したがって、第200項は $\frac{10}{21}$ である。

(3) 初項から第200項までの和を求める。

分母が $k$ である項の和は、$\frac{1+2+3+\dots+(k-1)}{k} = \frac{\frac{(k-1)k}{2}}{k} = \frac{k-1}{2}$ である。

分母が2から20までの項の和は、$\sum_{k=2}^{20} \frac{k-1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{20} (k-1) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{19} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \cdot 20}{4} = 19 \cdot 5 = 95$ である。

第200項は $\frac{10}{21}$ であり、200項までの数列は、分母が21の数列の10項目までが含まれている。

分母が21の項の和は、$\frac{1+2+3+\dots+10}{21} = \frac{\frac{10(10+1)}{2}}{21} = \frac{55}{21}$ である。

したがって、初項から第200項までの和は $95 + \frac{55}{21} = \frac{95 \cdot 21 + 55}{21} = \frac{1995 + 55}{21} = \frac{2050}{21}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 62項

(2) $\frac{10}{21}$

(3) $\frac{2050}{21}$