$z = x^2y + 2xy^2$, $x = t^3 + 3$, $y = t^3 + t$ のとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$z = x^2y + 2xy^2$, $x = t^3 + 3$, $y = t^3 + t$ のとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用する。$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$ である。

まず、$x$ と $y$ の $t$ による微分を求める。

$\frac{dx}{dt} = 3t^2$

$\frac{dy}{dt} = 3t^2 + 1$

次に、$z$ の $x$ と $y$ による偏微分を求める。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 2y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 4xy$

$t=1$ のとき、$x = 1^3 + 3 = 4$、$y = 1^3 + 1 = 2$ である。

また、$\frac{dx}{dt} = 3(1)^2 = 3$、$\frac{dy}{dt} = 3(1)^2 + 1 = 4$ である。

したがって、$t=1$ における $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ の値は、

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(4)(2) + 2(2)^2 = 16 + 8 = 24$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (4)^2 + 4(4)(2) = 16 + 32 = 48$

よって、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値は、

$\frac{dz}{dt} = (24)(3) + (48)(4) = 72 + 192 = 264$

3. 最終的な答え

264