画像にある問題の中から、6番の2次不等式の問題を解きます。具体的には、 (1) 不等式 $x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解を求め、 (2) 不等式 $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ の解が、(1)の解をすべて含むような最小の整数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数です。

1. 問題の内容

画像にある問題の中から、6番の2次不等式の問題を解きます。具体的には、

(1) 不等式 $x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解を求め、

(2) 不等式 $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ の解が、(1)の解をすべて含むような最小の整数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$a$ は正の定数です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解を求めます。

まず、$x^2 - 4x - 3 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

したがって、$x^2 - 4x - 3 \le 0$ の解は、$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$ となります。

(2) 不等式 $x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ の解を求めます。

$x^2 - ax - 2a^2 = 0$ を因数分解すると、$(x - 2a)(x + a) = 0$ となります。

したがって、$x = 2a, -a$ が解となります。

$a > 0$ であるため、$-a < 2a$ となります。

よって、$x^2 - ax - 2a^2 \le 0$ の解は、$-a \le x \le 2a$ となります。

(3) (1)の解が(2)の解に含まれる条件を考えます。

(1)の解 $2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$ が、(2)の解 $-a \le x \le 2a$ に含まれるためには、以下の2つの条件が必要です。

- $-a \le 2 - \sqrt{7}$

- $2 + \sqrt{7} \le 2a$

$2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.646 = 4.646$

$2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2.646 = -0.646$

条件を書き換えると、

- $a \ge \sqrt{7} - 2$

- $a \ge \frac{2 + \sqrt{7}}{2}$

$a > 0$ より、$a \ge \frac{2 + \sqrt{7}}{2}$ が必要になります。

$\frac{2 + \sqrt{7}}{2} \approx 2.323$ であるので、これを満たす最小の整数 $a$ は $3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 不等式①の解は、$2 - \sqrt{7} \le x \le 2 + \sqrt{7}$ です。

(2) 不等式①の解がすべて不等式②の解に含まれるような最小の整数 $a$ の値は $3$ です。