$a, b, c, d$ は有理数とする。 (1) $a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$ ならば $a=c$ かつ $b=d$ であることを示す。 (2) $(a+\sqrt{2})(b+3\sqrt{2}) = 8+7\sqrt{2}$ を満たす $a, b$ ($a<b$) の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b, c, d$ は有理数とする。

(1) $a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$ ならば $a=c$ かつ $b=d$ であることを示す。

(2) $(a+\sqrt{2})(b+3\sqrt{2}) = 8+7\sqrt{2}$ を満たす $a, b$ ($a<b$) の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$ より、

$a - c = (d-b)\sqrt{2}$

もし $b \neq d$ ならば $\sqrt{2} = \frac{a-c}{d-b}$ となる。$a, b, c, d$ は有理数なので $\frac{a-c}{d-b}$ も有理数となるが、$\sqrt{2}$ は無理数なので矛盾する。

したがって、$b=d$ である。

このとき、$a-c = (d-b)\sqrt{2} = 0$ なので、$a=c$ である。

よって、$a=c$ かつ $b=d$ が示された。

(2) $(a+\sqrt{2})(b+3\sqrt{2}) = 8+7\sqrt{2}$ を展開すると、

$ab + 3a\sqrt{2} + b\sqrt{2} + 3(\sqrt{2})^2 = 8+7\sqrt{2}$

$ab + 3a\sqrt{2} + b\sqrt{2} + 6 = 8+7\sqrt{2}$

$ab + 6 + (3a+b)\sqrt{2} = 8+7\sqrt{2}$

$ab+6 = 8$ かつ $3a+b = 7$

$ab = 2$ かつ $3a+b = 7$

$b = 7-3a$ を $ab=2$ に代入すると、

$a(7-3a) = 2$

$7a - 3a^2 = 2$

$3a^2 - 7a + 2 = 0$

$(3a-1)(a-2) = 0$

$a = \frac{1}{3}$ または $a=2$

$a = \frac{1}{3}$ のとき、$b = 7 - 3(\frac{1}{3}) = 7-1 = 6$

$a = 2$ のとき、$b = 7 - 3(2) = 7-6 = 1$

条件 $a<b$ を満たすのは $a = \frac{1}{3}, b = 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a=c$ かつ $b=d$

(2) $a = \frac{1}{3}, b = 6$