$x, y$ が不等式 $y \le 2x$, $y \ge \frac{1}{2}x$, $y \le -x + 3$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ が不等式 $y \le 2x$, $y \ge \frac{1}{2}x$, $y \le -x + 3$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示する。

1. $y \le 2x$ は、直線 $y = 2x$ の下側（境界を含む）。

2. $y \ge \frac{1}{2}x$ は、直線 $y = \frac{1}{2}x$ の上側（境界を含む）。

3. $y \le -x + 3$ は、直線 $y = -x + 3$ の下側（境界を含む）。

これらの不等式をすべて満たす領域は、3つの直線で囲まれた三角形になる。この三角形の頂点の座標を求める。

* $y = 2x$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点は、$2x = \frac{1}{2}x$ より $x = 0$。このとき $y = 0$。したがって、交点は $(0, 0)$。

* $y = 2x$ と $y = -x + 3$ の交点は、$2x = -x + 3$ より $3x = 3$。したがって $x = 1$。このとき $y = 2$。交点は $(1, 2)$。

* $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -x + 3$ の交点は、$\frac{1}{2}x = -x + 3$ より $\frac{3}{2}x = 3$。したがって $x = 2$。このとき $y = 1$。交点は $(2, 1)$。

次に、$2x + y$ の値を、求めた三角形の頂点で計算する。

* $(0, 0)$ のとき、$2x + y = 2(0) + 0 = 0$。

* $(1, 2)$ のとき、$2x + y = 2(1) + 2 = 4$。

* $(2, 1)$ のとき、$2x + y = 2(2) + 1 = 5$。

したがって、$2x + y$ の最大値は 5 で、最小値は 0 である。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x = 2, y = 1$ のとき)

最小値: 0 ($x = 0, y = 0$ のとき)