(1) $(x^3 + \frac{2}{x})^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求めよ。 (2) $(2x^3 - \frac{1}{3x^2})^5$ の展開式における定数項を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x^3 + \frac{2}{x})^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求めよ。

(2) $(2x^3 - \frac{1}{3x^2})^5$ の展開式における定数項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(x^3 + \frac{2}{x})^7$ の一般項は

$${}_7C_r (x^3)^{7-r} (\frac{2}{x})^r = {}_7C_r x^{3(7-r)} 2^r x^{-r} = {}_7C_r 2^r x^{21-3r-r} = {}_7C_r 2^r x^{21-4r}$$

$x^5$ の項なので、 $21 - 4r = 5$ となる $r$ を求める。

$4r = 16$ より $r = 4$ である。

よって、$x^5$ の項の係数は

$${}_7C_4 2^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 16 = 35 \cdot 16 = 560$$

(2) 二項定理より、$(2x^3 - \frac{1}{3x^2})^5$ の一般項は

$${}_5C_r (2x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3x^2})^r = {}_5C_r 2^{5-r} x^{3(5-r)} (-\frac{1}{3})^r x^{-2r} = {}_5C_r 2^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-3r-2r} = {}_5C_r 2^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$$

定数項なので、$15 - 5r = 0$ となる $r$ を求める。

$5r = 15$ より $r = 3$ である。

よって、定数項は

$${}_5C_3 2^{5-3} (-\frac{1}{3})^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 2^2 \cdot (-\frac{1}{27}) = 10 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{40}{27}$$

3. 最終的な答え

(1) 560

(2) $-\frac{40}{27}$