$a$ を正の実数とするとき、2次関数 $f(x) = (x-1)^2$ の $0 \le x \le a$ における最小値と、そのときの $x$ の値を、$a$ の値で場合分けして答えなさい。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とするとき、2次関数 $f(x) = (x-1)^2$ の $0 \le x \le a$ における最小値と、そのときの $x$ の値を、$a$ の値で場合分けして答えなさい。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (x-1)^2$ のグラフについて考えます。このグラフは、頂点が $(1, 0)$ の下に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ の範囲における最小値を考えます。$a$ の値によって、最小値をとる $x$ の値が変わります。

(i) $0 < a \le 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=1$ より左側にあります。したがって、$x=a$ で最小値をとります。最小値は $f(a) = (a-1)^2$ です。

(ii) $1 < a$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点 $x=1$ を含みます。したがって、$x=1$ で最小値をとります。最小値は $f(1) = (1-1)^2 = 0$ です。

3. 最終的な答え

(i) $0 < a \le 1$ のとき

最小値：$(a-1)^2$

$x$ の値：$a$

(ii) $1 < a$ のとき

最小値：$0$

$x$ の値：$1$