$a+b = 2\sqrt{5}$ かつ $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a+b = 2\sqrt{5}$ かつ $ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + b^2$ を $(a+b)^2$ と $ab$ を用いて表すことを考える。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ である。

したがって、

$a^2 + b^2 - 3ab = (a+b)^2 - 2ab - 3ab = (a+b)^2 - 5ab$

となる。

$a+b = 2\sqrt{5}$、$ab = -7$ を代入して、

$(2\sqrt{5})^2 - 5(-7) = 4 \times 5 + 35 = 20 + 35 = 55$

である。

3. 最終的な答え

55