(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。 (2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。 (3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

1. 問題の内容

(1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算し、簡単にする。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5x - 21$ の因数分解

$6x^2 - 5x - 21 = (ax + b)(cx + d)$ の形になると仮定して、展開すると

$6x^2 - 5x - 21 = acx^2 + (ad + bc)x + bd$

$ac = 6, ad + bc = -5, bd = -21$ となるような整数 $a, b, c, d$ を探す。

$a=2, c=3$とすると、$2d + 3b = -5, bd = -21$

$b=3, d=-7$とすると、$2(-7) + 3(3) = -14 + 9 = -5$ となり条件を満たす。

したがって、$6x^2 - 5x - 21 = (2x + 3)(3x - 7)$

(2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ の展開

$(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = (a + (2b - 3))(a - (2b - 3)) = a^2 - (2b - 3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ の計算

$\sqrt{7}$ は $2$ と $3$ の間の数であり、 $2 < \sqrt{7} < 3$ である。実際、$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ である。

したがって、$\sqrt{7} - 2 > 0$ であるから、 $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$

また、$\sqrt{7} - 3 < 0$ であるから、 $|\sqrt{7} - 3| = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7}$

よって、 $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = (\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + 3)(3x - 7)$

(2) $a^2 - 4b^2 + 12b - 9$

(3) $1$