2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、相異なる3点 $(a, b)$, $(b, c)$, $(c, a)$ を通るとき、以下の値を求めなさい。ただし、$a$, $b$, $c$ は定数で、$abc \neq 0$ とする。 (ア) $a$ の値 (イ) $b$, $c$ の値

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、相異なる3点 $(a, b)$, $(b, c)$, $(c, a)$ を通るとき、以下の値を求めなさい。ただし、$a$, $b$, $c$ は定数で、$abc \neq 0$ とする。

(ア) $a$ の値

(イ) $b$, $c$ の値

2. 解き方の手順

グラフが点 $(a, b)$ を通るので、

$b = a(a^2) + b(a) + c$

$b = a^3 + ab + c$ ...(1)

グラフが点 $(b, c)$ を通るので、

$c = a(b^2) + b(b) + c$

$c = ab^2 + b^2 + c$ ...(2)

グラフが点 $(c, a)$ を通るので、

$a = a(c^2) + b(c) + c$

$a = ac^2 + bc + c$ ...(3)

(2) - (1)より、

$c - b = ab^2 + b^2 + c - (a^3 + ab + c)$

$c - b = ab^2 + b^2 - a^3 - ab - c$

$0 = ab^2 + b^2 - a^3 - ab - (c - b)$

(2)から $c$を消去すると

$0 = ab^2 + b^2 - a^3 - ab$

$0 = b(ab + b - a^2 - a)$

同様に、(3) - (2)より

$a - c = ac^2 + bc + c - ab^2 - b^2 - c$

$0 = ac^2 + bc - ab^2 - b^2 - a + c$

式(2)より $c=ab^2 + b^2 + c$、移項して $0 = ab^2 + b^2$。これは$b^2(a+1) = 0$となる。 $b \neq 0$ なので$a = -1$。

(ア) の答え

$a=-1$

(1), (2), (3)に $a = -1$ を代入する。

$b = (-1)^3 + (-1)b + c$

$b = -1 - b + c$

$2b - c = -1$ ...(4)

$c = (-1)b^2 + b^2 + c$

$c = 0 + c$

$0 = 0$ (情報なし)

$a = (-1)c^2 + bc + c$

$-1 = -c^2 + bc + c$

$c^2 - bc - c - 1 = 0$ ...(5)

式(4)より $c = 2b + 1$

これを式(5)に代入する。

$(2b+1)^2 - b(2b+1) - (2b+1) + 1=0$

$4b^2 + 4b + 1 - 2b^2 - b - 2b - 1 + 1 = 0$

$2b^2 + b + 1=0$

式(4) $2b-c = -1$と、式(2) $c=ab^2 + b^2 + c$から$b^2(a+1)=0$より、$a=-1$ が得られる。

式(1)から、 $b = (-1)^3 - b + c$, つまり $2b-c=-1$。

式(3)から、 $-1 = -c^2 + bc + c$, つまり $c^2-bc-c-1=0$。

$c=2b+1$なので、$c^2-bc-c-1 = (2b+1)^2 -b(2b+1) - (2b+1)+1 = 4b^2+4b+1-2b^2-b-2b-1-1 = 2b^2+b-1 = (2b-1)(b+1) = 0$

$b \neq -1$ なので、$2b-1=0$, つまり $b=1/2$。

$c = 2b+1 = 2$。

(イ)の答え

$b=\frac{1}{2}$, $c=2$

3. 最終的な答え

(ア) $a = -1$

(イ) $b = \frac{1}{2}$, $c = 2$