数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。 (1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されている。

(1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ の逆数をとると

$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2a_n + 3}{a_n} = 2 + \frac{3}{a_n}$$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$$b_{n+1} = 2 + 3b_n = 3b_n + 2$$

(2) $b_{n+1} = 3b_n + 2$ を変形する。

$$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$$

したがって、数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = 1 + 1 = 2$, 公比 3 の等比数列である。

よって、

$$b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$$

$$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = 3b_n + 2$

(2) $b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$