放物線 $y = -2x^2$ を平行移動した放物線を $C$ とする。$C$ の頂点は直線 $y = 2x - 3$ 上にあり、$C$ は点 $(1, -5)$ を通る。このとき、$C$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を平行移動した放物線を $C$ とする。$C$ の頂点は直線 $y = 2x - 3$ 上にあり、$C$ は点 $(1, -5)$ を通る。このとき、$C$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $C$ の頂点の座標を $(p, q)$ とすると、$C$ の方程式は

$y = -2(x - p)^2 + q$

と表せる。

頂点 $(p, q)$ が直線 $y = 2x - 3$ 上にあるので、

$q = 2p - 3$

$C$ は点 $(1, -5)$ を通るので、

$-5 = -2(1 - p)^2 + q$

ここに $q = 2p - 3$ を代入すると、

$-5 = -2(1 - 2p + p^2) + 2p - 3$

$-5 = -2 + 4p - 2p^2 + 2p - 3$

$2p^2 - 6p = 0$

$2p(p - 3) = 0$

よって、$p = 0, 3$

(i) $p = 0$ のとき、$q = 2(0) - 3 = -3$ なので、

$y = -2(x - 0)^2 - 3 = -2x^2 - 3$

(ii) $p = 3$ のとき、$q = 2(3) - 3 = 3$ なので、

$y = -2(x - 3)^2 + 3 = -2(x^2 - 6x + 9) + 3 = -2x^2 + 12x - 18 + 3 = -2x^2 + 12x - 15$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - 3$ または $y = -2x^2 + 12x - 15$