$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解に持つとき、$a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1-2i$ を解に持つとき、$a, b$ の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 実数係数の3次方程式が複素数 $1-2i$ を解に持つとき、共役な複素数 $1+2i$ も解に持つ。

2. 3つの解を $\alpha, 1-2i, 1+2i$ とおく。解と係数の関係より、

* 3つの解の和: $\alpha + (1-2i) + (1+2i) = \alpha + 2 = 1$

* 2つずつの解の積の和: $\alpha(1-2i) + \alpha(1+2i) + (1-2i)(1+2i) = a$

* 3つの解の積: $\alpha(1-2i)(1+2i) = -b$

3. $\alpha + 2 = 1$ より、$\alpha = -1$。

4. $\alpha(1-2i) + \alpha(1+2i) + (1-2i)(1+2i) = \alpha(1-2i+1+2i) + (1^2 - (2i)^2) = 2\alpha + (1 - 4i^2) = 2\alpha + (1+4) = 2\alpha + 5 = a$

$\alpha = -1$ を代入すると、 $2(-1) + 5 = -2+5 = 3 = a$。

5. $\alpha(1-2i)(1+2i) = \alpha(1+4) = 5\alpha = -b$

$\alpha = -1$ を代入すると、$5(-1) = -5 = -b$ より $b=5$。

6. よって、$a=3, b=5$ であり、他の解は $-1, 1+2i$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 5$

他の解は $-1$ と $1+2i$