与えられた2つの計算問題を解きます。 (1) $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16}$ を計算します。 (2) $\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{12} - \log_3 \sqrt{8}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた2つの計算問題を解きます。

(1) $\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16}$ を計算します。

(2) $\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{12} - \log_3 \sqrt{8}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$

よって、

$\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{16} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} = (3 - 1 + 2)\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2}$

(2)

$\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{12} - \log_3 \sqrt{8} = \log_3 (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - \log_3 (\sqrt[3]{12})^{\frac{3}{2}} - \log_3 \sqrt{8} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_3 (12)^{\frac{1}{2}} - \log_3 \sqrt{8} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_3 \sqrt{12} - \log_3 \sqrt{8}$

$\log_3 \frac{1}{\sqrt{2}} - \log_3 \sqrt{12} - \log_3 \sqrt{8} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{12} \times \sqrt{8}} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{2 \times 12 \times 8}} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{192}} = \log_3 \frac{1}{\sqrt{64 \times 3}} = \log_3 \frac{1}{8\sqrt{3}} = \log_3 \frac{\sqrt{3}}{24} = \log_3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{24} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} - \log_3 24 = \frac{1}{2} - \log_3 (8 \times 3) = \frac{1}{2} - \log_3 8 - \log_3 3 = \frac{1}{2} - \log_3 2^3 - 1 = \frac{1}{2} - 3\log_3 2 - 1 = -\frac{1}{2} - 3\log_3 2$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt[3]{2}$

(2) $-\frac{1}{2} - 3\log_3 2$