3次正方行列 $A$ の行列式をサラスの公式で展開したときに、与えられた各項の係数が1か-1かを答える問題です。もし行列式の展開式にその項が出てこない場合は0と答えます。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ の行列式をサラスの公式で展開したときに、与えられた各項の係数が1か-1かを答える問題です。もし行列式の展開式にその項が出てこない場合は0と答えます。

2. 解き方の手順

3次正方行列 $A$ の行列式は、サラスの公式を用いると以下のように展開できます。

$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

この式と与えられた各項を比較して、係数を求めます。

1. $a_{31}a_{22}a_{13}$ の項について：

上記の展開式には $-a_{13}a_{22}a_{31}$ という項があり、これは $a_{31}a_{22}a_{13}$ と順番を入れ替えたものです。よって係数は-1です。

2. $a_{11}a_{32}a_{23}$ の項について：

上記の展開式には $-a_{11}a_{23}a_{32}$ という項があり、これは $a_{11}a_{32}a_{23}$ と順番を入れ替えたものです。よって係数は-1です。

3. $a_{21}a_{32}a_{13}$ の項について：

上記の展開式には $a_{13}a_{21}a_{32}$ という項があり、これは $a_{21}a_{32}a_{13}$ と順番を入れ替えたものです。よって係数は1です。

3. 最終的な答え

1. $a_{31}a_{22}a_{13}$ の係数：-1

2. $a_{11}a_{32}a_{23}$ の係数：-1

3. $a_{21}a_{32}a_{13}$ の係数：1