3次正方行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ の行列式をサラスの公式で展開したとき、与えられた各項の係数が1か-1かを答える問題。行列式の展開式に出てこない項については0と答える。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ の行列式をサラスの公式で展開したとき、与えられた各項の係数が1か-1かを答える問題。行列式の展開式に出てこない項については0と答える。

2. 解き方の手順

3次正方行列の行列式をサラスの公式で展開すると、次のようになる。

$\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

1. $a_{11}a_{32}a_{23}$ の係数について: この項は$-a_{11}a_{23}a_{32}$と符号が逆なので、係数は-1である。

2. $a_{11}a_{32}a_{23}$ の係数について：これは1と同じで、この項は$-a_{11}a_{23}a_{32}$と符号が逆なので、係数は-1である。

3. $a_{21}a_{12}a_{13}$ の係数について: この項はサラスの公式による展開には現れないので、係数は0である。

3. 最終的な答え

1. -1

2. -1

3. 0